Suites arithmético-géométriques de matrices lignes

Définition  

Soit  \(A\)  une matrice carrée de dimension  \(k\)  (c'est-à-dire une matrice à  \(k\)  lignes et  \(k\)  colonnes) et  \(U_0\)  et \(B\)  deux matrices lignes de dimension  \(k\) .

La formule de récurrence  \(U_{n+1}=U_nA+B\)  permet de définir une suite arithmético-géométrique de matrices lignes.

Étude d'une suite de ce type

On va procéder comme pour les suites numériques.
Attention, pour les suites numériques de la forme \(u_{n+1}=au_n+b\) , on supposait  \(a≠1\) , ce qui ne posait pas problème puisque  \(a=1\)  correspond à une suite arithmétique.
Ici, la condition est plus restrictive : il faut que la matrice  \(A-I_k\)  soit inversible.

On pose alors  \(C=-B(A-I_k)^{-1}\) , et on définit la suite  \(V\)  telle que pour tout entier naturel  \(n\) , \(V_n=U_n-C\)  .
On peut montrer que la suite  \(V\)  est géométrique de raison  \(A\) .
\(V_{n+1}=U_{n+1}-C\)
En utilisant la définition de la suite  \(U\) , on a donc :
\(V_{n+1}=U_nA+B-C\) .
Puis on utilise  \(V_n=U_n-C\)  pour calculer  \(U_n=V_n+C\) .
Donc  \(V_{n+1}=(V_n+C)A+B-C\) .
En développant,  \(V_{n+1}=V_nA+CA+B-C\) .
Puis en factorisant  \(C\)  dans les deux termes où il apparait  \(V_{n+1}=V_nA+B+C(A-I_k)\) .
Enfin on remplace  \(C\)  par  \(-B(A-I_k)^{-1}\) .
Ce qui donne  \(V_{n+1}=V_nA+B-B(A-I_k)^{-1}(A-I_k)\) \(\)
\(V_{n+1}=V_nA+B-BI_k\)
\(V_{n+1}=V_nA+B-B\)
\(V_{n+1}=V_nA\)
Donc la suite  \(V\)  est géométrique de raison  \(A\) .

Application pour déterminer le terme général de la suite  \(U\)

\(V_n=V_0A^n\)  donc  \(U_n=V_0A^n+C\)

En remplaçant  \(V_0\)  et  \(C\)  on a donc :  \(U_n=(U_0+(A-I_k)^{-1}B)A^n-(A-I_k)^{-1}B\) .